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équation sur exo 57731 du site

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équation sur exo 57731 du site
Message de chocolatcitron posté le 19-05-2019 à 06:32:43 (S | E | F)
Bonjour,
Cela fait trois bonnes heures que je suis sur cet exercice, et je tourne en rond… Je n'ai pas fait ce genre d'exercice depuis plus de quarante années, et je me retrouve complètement perdue pour le comprendre. J'ai fait une terminale littéraire (A4, devenue depuis A1).

L'exercice de la page 57731 du site nous donne :
si x + y = 7 et
si xy = 5 combien vaut
x²+ xy + y² ?
J'ai vu la réponse qui serait 44.
Je ne comprends absolument pas comment on arrive à ce résultat.
Généralement, je résous par intuition, mais là, je sèche et je donne ma langue au chat. Je vais détailler quand même mes errements parmi lesquels il pourrait y avoir une lumière d'espoir ? À vrai dire j'en doute…

Apparemment, on est dans un système d'équations :
Si je remplace x par (7 - y) dans la première équation, je trouve x = (7 - y) + y = 7, oui, j'élimine les y et il me reste 7 = 7 oui, bien sûr, … et après j'en fais quoi ??? ... Si on a bien 7 + 0 = 7, … mais y ne peut pas être égal à 0, car 0 x 5 = 0 ! J'ai aussi testé les couples de solutions (1;6) (2;5) (3;4) (1;4), (2;3) en vain !
Dans la deuxième équation je trouve : (7 - x) y = 7y - xy = 6 y - x = x = y/6 : Je coule !
Si je remplace xy dans la troisième équation, cela me donne x² + xy + y² = 44 donc x² + 5 + y² = 44 === x² + y ² = 44 - 5 = 39. Je ne vois pas deux carrés qui valent 39..., mais 39 = 3 x 13.

Ce ne sont pas les bonnes solutions, puisque : racine de 3 + racine de 13 = 5.337602083 et que racine de 3 multiplié par racine de 13 = 6.244997998. D'un côté, ce résultat est insuffisant, pour l'addition, et trop grand pour la multiplication.

J'ai aussi pensé que le couple de solutions (x;y) pouvait être un multiple de 7 et de 5 = 35... avec 175/35 = 5, et 245/35 = 7. Et à tâtons, j'ai essayé, avec 100 + 75, 95 + 80, 85 + 90, en vain et pareil pour 245 avec 100 x 2,45. Je ne suis pas allée plus loin car les nombres ne sont pas les bons… par rapport à l'addition !

En fait je n'arrive pas à trouver les racines x et y... :
Pourriez-vous m'expliquer clairement et en détaillant, s'il vous plaît ? Malheureusement, comme bien souvent en maths, ça n'est pas expliqué dans l'exercice… et tous ceux qui viennent ici ne sont plus encore forcément à l'école, et donc, je ne dispose pas d'un professeur pour m'expliquer ce sur quoi je butte. C'est juste par curiosité intellectuelle, je ne passe pas le concours d'infirmière, et parce que je n'aime pas rester sur un blocage : nous n'étions pas vraiment amis avec les mathématiques, déjà à l'époque, comme vous pouvez encore le constater ici.

Merci pour votre réponse, et de votre temps en tant que bénévole sur ce site. Je suis dyslexique, et en maths, ça ne pardonne pas !!! Je ne sais pas non plus employer les symboles sur mon clavier, d'où l'usage des mots. D'ailleurs, c'est plus précis pour moi. J'ai vu au fil des fiches faites que le signe multiplié pouvait avoir plusieurs symboles : un "euro renversé", un point, ou *, ou encore le x... Quelles galères pour comprendre les exercices, quand on n'a pas la bosse des maths !


Réponse : équation sur exo 57731 du site de tiruxa, postée le 19-05-2019 à 12:07:12 (S | E)
Bonjour,

D'abord bravo pour avoir bien détaillé tes difficultés et expliqué tes motivations.

Le truc (car il y a un truc ...) dans cet exercice c'est qu'il n'est pas nécessaire de résoudre le système. On ne demande pas x et y, mais une expression qui est dite symétrique par rapport aux racines, ce qui signifie qu'on peut remplacer x par y et inversement sans changer l'expression.

Ce genre d'expression peut s'exprimer en fonction de la somme S (ou x+y) et du produit P(ou xy).

Cette expression ressemble à une identité remarquable
En effet S²=(x+y)²=x²+2xy+y²

Qu'est ce qui change par rapport à l'expression à calculer ?
C'est le nombre de produit xy, il y en a deux alors qu'on n'en a qu'un seul dans l'expression.

D'où l'idée d'en enlever un !

Donc S² - P =(x+y)² - xy = x²+2xy+y² - xy = x² + xy +y² (l'expression à calculer)

Comme S= 7 et P =5 on a S²-P = 49-5 =44. (après correction de mon étourderie)

D'autre part, on pouvait aussi chercher x et y en résolvant un système.... si cela t'intéresse je t'expliquerais une méthode.



Réponse : équation sur exo 57731 du site de chocolatcitron, postée le 19-05-2019 à 18:27:40 (S | E)
Bonjour Tiruxa,
merci de m'avoir expliqué, clairement et en détaillant : c'est gentil.
J'avais bien remarqué que ça ressemblait à une identité remarquable… hormis que le membre 2AB n'était que AB… dans A² + 2AB + B², auquel cas, il aurait fallu calculer :
Delta = B²- 4 AC, si je me souviens bien… De là, en fonction des résultats de Delta : si Delta < 0 = pas de racines, si Delta = 0 une racine = -B/2A, et si Delta > 0 on a 2 racines telles que : (-B + ou - racine de Delta)/ 2A : si je ne me trompe pas…

Je pense qu'il y a une coquille dans votre calcul final : S² - P = 49 - <s>2</s>5 = 44... S² - P = 49 - 5 = 44. Mais ce n'est pas grave j'ai compris jusques là. Je vais pouvoir reprendre cette fiche et gagner mon 20 car bien qu'ayant vu le résultat je ne voulais pas tricher, mais comprendre, ce qui est fait : je ne me bats que contre mes lacunes ! En fait, les maths ne sont que des astuces… à appliquer avec des règles : ça va changer ma vision… Pour moi ce n'était que de l'intuition, faite d'essais nombreux et de tâtonnements, mais l'intuition ne peut pas tout résoudre… Mes profs se demandaient comment je trouvais le bon résultat, sans tricher, et sans passer par leurs méthodes… ou alors, ils s'arrachaient les cheveux car ils devaient tout refaire puisque j'avais involontairement changé les données des problèmes…

Mais comment calcule-t-on x et y dans ce cas ? En passant par Delta, même si ce n'est pas une identité remarquable ? Aurait on le droit de calculer Delta dans ce cas, en faisant B² - 3AC (en enlevant un produit par rapport à la formule normale ) ? Je dis sans doute une ineptie… mais je ne crains pas de me planter en public. Par la méthode de substitution (dont j'ai tout oublié) ? C'est le flou complet ! Intéressée d'apprendre, oui : toujours enthousiaste !!!

Merci Tiruxa, bonne soirée !



Réponse : équation sur exo 57731 du site de tiruxa, postée le 20-05-2019 à 09:53:05 (S | E)
Bon effectivement tu es enthousiaste....
D'accord j'avais commis une petite étourderie à la fin du calcul (comme disent les profs avec une dose de mauvaise foi, c'est pour voir si tu suivais

Revenons donc à la résolution du système

Comme pour une équation on raisonne par équivalences de façon qu'à chaque étape on ait toujours les mêmes solutions sans en égarer en chemin...

Il y a plusieurs méthodes pour cela, l'une d'elle est la substitution dont tu as parlé.

Cela consiste à isoler une inconnue dans un membre d'une équation (on obtient quelque chose du genre inconnue 1= Expression A) puis à remplacer cette inconnue dans la ou les AUTRES équations par la quantité que j'ai appelée Expression A.

Le problème que tu avais dans ton message c'est que tu remplaçais dans l'équation ayant servi à isoler l'inconnue, cela ne donne rien ou plutôt 0=0....

Bon au départ on a S: (x+y=7 et xy=5)

S équivaut à (y=7-x et xy = 5), là j'ai isolé y dans une équation

S équivaut à (y=7-x et x(7-x)=5 ), là j'ai remplacé y par 7-x dans l'autre

S équivaut à (y=7-x et x²-7x+5=0), après développement

Là je te laisse calculer le Delta et trouver les valeurs de x puis celles de y en remplaçant dans la première équation c'est à dire y=7-x.

On obtient des valeurs irrationnelles car Delta n'est pas le carré d'un entier, on voit donc que, dans cet exercice, calculer x et y n'était pas la bonne méthode.

En math on cherche toujours la méthode la plus élégante possible, c'est à dire la plus courte celle qui occasionne le moins de calculs. En gros il faut être fainéant pour bon en math

Voilà voilà...



Réponse : équation sur exo 57731 du site de tiruxa, postée le 20-05-2019 à 10:01:14 (S | E)
Bon pour voir si tu as compris, dans le même exercice c'est à dire sachant que x+y=7 et xy = 5

1) Calculer x²+y²

2) Calculer 1/x + 1/y


Bien sûr sans calculer ni x ni y donc par la méthode exposée au début.




Réponse : équation sur exo 57731 du site de chocolatcitron, postée le 20-05-2019 à 19:40:17 (S | E)
Bonjour Tiruxa,
Merci !
Ce qui est en gras c'est une reprise de ton travail :
Bon au départ on a S: (x+y=7 et xy=5)
S équivaut à (y=7-x et xy = 5), là j'ai isolé y dans une équation
S équivaut à (y=7-x et x(7-x)=5 ), là j'ai remplacé y par 7-x dans l'autre
S équivaut à (y=7-x et x²-7x+5=0), après développement
Là je te laisse calculer le Delta et trouver les valeurs de x puis celles de y en remplaçant dans la première équation c'est à dire y=7-x.
On obtient des valeurs irrationnelles car Delta n'est pas le carré d'un entier, on voit donc que, dans cet exercice, calculer x et y n'était pas la bonne méthode.

Réponse :
Je calcule Δ=B²-4AC=(-7)²-4(1)(5)=49-20=29, Δ>0, donc deux solutions :
x'=(-B-√Δ)/2A=(-(-7)-√29)/2(1)=(7-√29)/2.
x'’=(-B+√Δ)/2A=(-(-7)+√29)/2(1)=(7+√29)/2.

Calcule de y :
y'=7-x=7-(7-√29)/2=14/2-7/2-√29/2=7/2+√29/2≈0.807
y'=7-x=7-(7+√29)/2=14/2-7/2+√29/2=7/2+√29/2≈6.192

Bon pour voir si tu as compris, dans le même exercice c'est à dire sachant que x+y=7 et xy=5
1) Calculer x²+y²
2) Calculer 1/x+1/y

Est cela ce que tu me demandes ?
x²+y²=49 et xy=25 ? = Non, trop simple... ! Tu m'as dit que les bons matheux sont fainéants !
1/x+1/y=1/5 et 1/xy=1/5 ? Trop simple, mais je ne pense pas que ce soit cela...

Je veux bien essayer de relever ton défi... :
1) Calculer x²+y²
x²+y²=A²+B²=1/2(A+B)²+1/2(A-B)² C'est ce que j'ai trouvé sur Internet car je n'ai jamais pratiqué cette identité remarquable !
1/2(x+y)²+1/2(x-y)²=(1/2x²+2*1/2xy+1/2y²)+(1/2x²-2*1/2xy+1/2b²)=x²+y²=49
y=x²-49=A²-B²=(A-B)(A+B)=(x-7)(x+7)
villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Identite/Ident.htm
Mais aussi, ce qui est plus étonnant : A²+B²=A²+ABi-ABi-(-B²)=A²+B². Là non plus pour moi, c'est une découverte.

Ton exemple :
S équivaut à (y=7-x et xy=5),
S équivaut à (y=7-x et x(7-x)=5),
S équivaut à (y=7-x et x²-7x+5=0). Là, tu as inversé l'équation changeant les signes de chaque membre, ou seraient-ce d' autres typos pour savoir si je suis tes explications ?

À partir de ton exemple :
X et y sont interchangeables, là encore pour x²+y²=7² et xy=5², donc x²+y²=49 et xy=25 ?
x+y =7 et xy=5
S' équivaut à (y²=49-x²) et xy=25 là j'ai isolé y dans une équation
S' équivaut à (y²=49-x² et x²(49-x²)=25 là j'ai remplacé y par 49-x² dans l'autre
S' équivaut à (y²=49-x² et -x exposant 4+49x²-25=0 après développement
Ou je me suis planté quelque part ?

2) Calculer 1/x + 1/y
1/ x+1/y=1/7 et 1/(xy)=1/5 ??? En fait c'est l'inverse de l'équation étudiée ?
S' équivaut à (1/y=1/7-1/x et 1/xy=1/5), là j'ai isolé y dans une équation.
S' équivaut à (1/y=1/7-1/x et 1/x(1/7-1/x)=1/5), là j'ai remplacé 1/y par 1/7-1/x dans l'autre équation.
S' équivaut à (1/y=1/7-1/x et 1/x²-1/7x+1/5=0), après développement.

Posons S² (la somme) = 1/(x+y)²=1/(x²+2xy+y²). Ce genre d'expression peut s'exprimer en fonction de la somme S (ou x+y) et du produit P(ou xy).
Cette expression ressemble à l'inverse d'une identité remarquable
En effet S² = 1/(x+y)²=1/x²+1/2xy+1/y²
Ce qui change par rapport à l'expression à calculer c'est le nombre de produit xy, il y en a deux alors qu'on n'en a qu'un seul dans l'expression.
D'où l'idée d'en enlever un !
Donc S² - P = 1/(x+y)²-1/xy=1/x²+1/2xy+1/y²-1/xy=1/x²+1/xy+1/y² (l'expression à calculer)
Comme S=1/7 et P=1/5, on a : S²-P=1/7-1/5=-2/35.
Jamais certaine dans ma démarche mathématique...



Réponse : équation sur exo 57731 du site de tiruxa, postée le 21-05-2019 à 12:10:36 (S | E)
Oui, bon effectivement la démarche n'est pas bonne, disons que tu pars pour un marathon alors qu'il s'agissait juste de se promener dans le quartier

Reprenons, il faut bien écrire les hypothèses et les premières conclusions obtenues qui à leur tour deviennent des hypothèses

On a deux nombres x et y tels que x+y=7 et xy=5
On sait maintenant que x²+xy+y² = 44

On demande x²+y²

Il suffit de regarder plus haut pour voir que x²+y² figure dans une des hypothèses, il y a juste un truc en plus, mais ce truc là on le connaît, donc....

Voilà cela ne volait pas bien haut, pas besoin d'appeler le dieu Google à la rescousse

Concernant la deuxième question, tu sembles avoir du mal à ajouter deux fractions de dénominateur différents, réfléchis à ce que tu fais pour ajouter 1/2 et 1/3 et fais la même chose avec 1/x et 1/y.

Allez bon courage, la tenacité est une qualité importante pour progresser en math.




Réponse : équation sur exo 57731 du site de tiruxa, postée le 21-05-2019 à 12:15:25 (S | E)
Juste un mot sur le calcul de x et y

Pour x c'est juste mais pour y il y a quelques erreurs de signe, en fait on retrouve pour y les valeurs de x mais dans l'ordre inverse.

Cela provient du fait que c'est symétrique par rapport aux racines, comme expliqué plus haut.

C'est à dire que si a et b sont les solutions pour x, quand x vaut a alors y vaut b et inversement.



Réponse : équation sur exo 57731 du site de chocolatcitron, postée le 21-05-2019 à 14:14:35 (S | E)
Reprenons, il faut bien écrire les hypothèses et les premières conclusions obtenues qui à leur tour deviennent des hypothèses
On a deux nombres x et y tels que x+y=7 et xy=5
On sait maintenant que x²+xy+y² = 44

On demande x²+y²
Il suffit de regarder plus haut pour voir que x²+y² figure dans une des hypothèses, il y a juste un truc en plus, mais ce truc là on le connaît, donc....

Réponse :
x²+y²=x²+5+y²=44 donc x²+y²=44-5=39 ???

Concernant la deuxième question, tu sembles avoir du mal à ajouter deux fractions de dénominateur différents, réfléchis à ce que tu fais pour ajouter 1/2 et 1/3 et fais la même chose avec 1/x et 1/y.
non, je calcule ton exemple :1/2+1/3=3/6+2/6=5/6,
1/x+1/y=(x+y)/xy=7/5 ???

En tous les cas merci pour ton aide, et ta patience !



Réponse : équation sur exo 57731 du site de tiruxa, postée le 21-05-2019 à 14:51:53 (S | E)
Très bien, c'est tout à fait ça.



Réponse : équation sur exo 57731 du site de chocolatcitron, postée le 25-05-2019 à 22:28:14 (S | E)
Bonjour Tiruxa,
tu m'as très bien guidée, j'ai compris ce que j'ai fait : merci !
Bonne continuation !
Chocolatcitron.




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