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Une construction graphique

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Une construction graphique
Message de integrator posté le 27-09-2020 à 07:35:54 (S | E | F)

Bonjour à tous,

Le problème proposé par moi:

À l'intérieur du triangle scalène ABC construisez avec la règle et le compas un triangle équilatéral MNP où les sommets M , N , P doivent être situés respectivement sur les côtés AB , BC et CA.

Avec respect,

Integrator




Réponse : Une construction graphique de tiruxa, postée le 27-09-2020 à 11:58:20 (S | E)
Bonjour,

Il doit y avoir plusieurs méthodes, celle que je connais utilise une homothétie... il y a juste une parallèle à tracer. Rien d'insurmontable à la règle et au compas.



Réponse : Une construction graphique de wab51, postée le 28-09-2020 à 13:41:26 (S | E)

Bonjour 

Bien examiner et bien lire la figure . Voir Lien internet
.





Réponse : Une construction graphique de tiruxa, postée le 29-09-2020 à 15:33:22 (S | E)
Bonjour,

Oui Wab51 c'est tout à fait cela.

Le principe étant de construire la figure en enlevant une contrainte (ici le troisième point du triangle sur le troisième côté) puis de définir une homothétie qui conserve les autres contraintes tout en remettant celle enlevée.

Il suffit de définir le centre de l'homothétie ici le sommet A et l'image d'un point ici h(F)=P.

Lien internet




Réponse : Une construction graphique de wab51, postée le 30-09-2020 à 12:16:55 (S | E)

Bonjour
Oui parfaitement,tiruxa. C'est impeccable .
On pourrait aussi penser à suggérer un 2e cas de figure où 'l'un des sommets du triangle équilatéral M'N'P' se situe à l'extérieur du triangle scalène ABC '(rapport d'homothétie k<1),il suffit simplement d'appliquer identiquement les mêmes opérations de constructions et dans l'ordre en donnant un petit rappel 'construction d'une droite passant par un point et parallèle à une autre soit en utilisant la propriété point milieu des deux diagonales ou celle des cotés d'un parallélogramme (règle et compas uniquement).
Matériel de construction: feuille de papier-compas-règle non graduée .Bonne journée 

  

 

 





Réponse : Une construction graphique de wab51, postée le 30-09-2020 à 12:21:21 (S | E)

Figure jointe 

 





Réponse : Une construction graphique de integrator, postée le 30-09-2020 à 13:09:06 (S | E)

Bonjour à tous,

Ma construction graphique:

Le dessin Lien internet
 montre que j'ai construit le triangle équilatéral MNP ayant les côtés parallèles aux côtés du triangle équilatéral ABD.

Combien de triangles équilatéraux congruents peuvent s'inscrire à l'intérieur du triangle scalène ABC?Merci beaucoup!

Avec respect,

Integrator


 





Réponse : Une construction graphique de tiruxa, postée le 30-09-2020 à 18:23:23 (S | E)

Bonjour,

Une autre façon de construire c'est d'ultiliser une rotation de -60° que je note r. On ne trace que des triangles éqilatéraux donc sans difficultés à tracer au compas et à la règlenon graduée.

(suivre sur la figure, plus bas)


On place M sur lesegment [BC], n'importe où.
N doit être l'image de P par r pour que MNP soit équilateral.
Donc N est sur l'image de [AB] par r que je note [A'B'], Nest donc l'intersection de (A'B') et de (AC).
Quant à P il est l'image de N par la réciproque de r.

 





Réponse : Une construction graphique de tiruxa, postée le 30-09-2020 à 18:29:45 (S | E)
Désolé la figure n'est pas passée...

Voir :
Lien internet




Réponse : Une construction graphique de wab51, postée le 01-10-2020 à 15:00:26 (S | E)

Bonjour à tous
Tiruxa, ta deuxième proposition est encore plus géniale, félicitations. Elle m'a donné à réfléchir à créer une figure géométrique dynamique à travers laquelle on peut encore déceler (ou observer)la réponse à la seconde question pertinente posée "Combien de triangles équilatéraux congruents peuvent s'inscrire à l'intérieur du triangle scalène ABC?".
*Toutefois une petite remarque concernant la position du point M ,choisi n'importe comment sur [BC].Je pense que non mais elle est conditionnée par la plus petite longueur du plus petit coté de ABC (ici c'est la longueur du [AB].C'est la distance maximale que peut balayer M sur le [BC].
Voir figure à partir du lien ci dessous.Merci





Réponse : Une construction graphique de wab51, postée le 01-10-2020 à 19:04:58 (S | E)

Voir Lien internet
. Merci et au plaisir .





Réponse : Une construction graphique de tiruxa, postée le 01-10-2020 à 19:24:50 (S | E)
Bonjour,

Merci Wab51 et bravo pour ta figure dynamique qui illustre fort bien cette méthode.

J'avais bien conscience que ce n'était pas tout à fait "n'importe où" mais je n'avais pas approfondi, merci d'avoir complété.

Pour la question des triangles congruents, puisqu'ils sont équilatéraux cela signifie qu'ils sont tous de côté a.

Sur ta figure dynamique on observe en effet que la longueur du côté diminue puis augmente après être passée par un minimum.

Si on prend une valeur de a "adéquate" on devrait avoir deux triangles congruents au maximum. A creuser....



Réponse : Une construction graphique de wab51, postée le 02-10-2020 à 00:40:48 (S | E)

C'est moi qui doit te remercier et encore comment.C'est toi le 1er innovateur de l'idée sinon on n'aurait pas l'idée d'y penser .Je ne fais que d'exploiter votre idée sous d'autres formes pour la pédagigie de la compréhension.Mais c'est un sujet vraiment amusant et interessant et mes félicitations aussi à integrator . Effectivement la réponse du nombre deux est juste mais il me semble que le nombre maximum de triangles équilatéraux inscrits et congruents est trois . Le sujet est intéressant et attractif ,c'est pourquoi je n'y sentais pas comment le temps y passait. 

 Lien internet

 





Réponse : Une construction graphique de integrator, postée le 02-10-2020 à 07:48:27 (S | E)
Bonjour à tous,

Ma question "Combien de triangles équilatéraux congruents peuvent s'inscrire à l'intérieur du triangle scalène ABC?" fait référence aux conditions du problème proposé et donc aucun côté d'un triangle équilatéral ne fait partie d'aucun côté du triangle scalène ABC.

Une autre question:
Dans les conditions du problème proposé , combien de triangles équilatéraux similaires peuvent s'inscrire à l'intérieur du triangle scalène ABC?Merci beaucoup!

Avec respect,

Integrator



Réponse : Une construction graphique de integrator, postée le 02-10-2020 à 08:01:18 (S | E)
Bonjour "tiruxa",

Citation de "tiruxa":
"Sur ta figure dynamique on observe en effet que la longueur du côté diminue puis augmente après être passée par un minimum.
Si on prend une valeur de a "adéquate" on devrait avoir deux triangles congruents au maximum. A creuser...."

Comment prouver qu'il n'y a qu'un maximum de deux triangles équilatéraux congruents dans les conditions du problème proposé et quelle valeur "adéquate" devrait avoir le côté BC=a du triangle scalène ABC??Merci beaucoup!

Avec respect,

Integrator



Réponse : Une construction graphique de wab51, postée le 03-10-2020 à 15:53:01 (S | E)
Bonjour integrator
*fait référence aux conditions du problème proposé et donc aucun côté d'un triangle équilatéral ne fait partie d'aucun côté du triangle scalène ABC.
En fait ,je pense que cette anomalie provient de l'écriture de l'énoncé et peut prêter mauvaise rigueur .Un point M qui n'appartient pas aux extrémités d'un segment (ou d'un coté d'un triangle) ,le segment (ou le coté) en question s'écrit avec intervalles ouverts ]AB[,sans quoi,ce cas particulier serait bien sur aussi envisageable et c'est ce que j'avais fait.
Voici,deux figures l'une statique montrant à quelle condition "la valeur minimale de M est atteinte".et la seconde dynamique et de là la réponse est pour moi immédiate.Merci



Réponse : Une construction graphique de wab51, postée le 03-10-2020 à 16:05:36 (S | E)

Lien internet





Réponse : Une construction graphique de tiruxa, postée le 03-10-2020 à 19:14:41 (S | E)
Bonjour,

Je n'ai pas eu trop le temps de chercher davantage, mais juste deux choses.

Wab51 pourquoi utilises tu un angle A de 60° ?

D'autre part, il me semble que l'on peut faire la construction en prenant le premier point c'est à dire M sur [AB] mais aussi sur [BC] ou enfin sur [AC]. Il faudrait multiplier par 3 le nombre de triangles possibles... mais bon il faudrait vraiment regarder cela en détails et cela me parait demander bcp trop de temps...



Réponse : Une construction graphique de wab51, postée le 03-10-2020 à 22:04:08 (S | E)
Bonsoir tiruxa
Oui, parfaitement d'accord mais cela chargerait trop la figure et prendrait beaucoup de temps .Peut-etre ,j'essayerai de voir cela un peu plus tard .
Mille merci .



Réponse : Une construction graphique de integrator, postée le 04-10-2020 à 07:14:51 (S | E)

Bonjour 'wab51',

Je pense que l'énoncé du problème 'À l'intérieur du triangle scalène ABC construisez avec la règle et le compas un triangle équilatéral MNP où les sommets M , N , P doivent être situés respectivement sur les côtés AB , BC et CA.' est très clair et donc il est entendu que les sommets du triangle équilatéral ne peuvent coïncider avec aucun des sommets du triangle scalène ...

Je répète:

Combien de triangles équilatéraux congruents peuvent s'inscrire à l'intérieur du triangle scalène ABC?Merci beaucoup!

Avec respect,

Integrator









Réponse : Une construction graphique de wab51, postée le 07-10-2020 à 16:39:45 (S | E)

Bonjour integrator
Sujet coriace. Mais il n'empêche que j'ai tout essayé pour peut être arriver à de bonnes réponses et je l'espère ,tout en tenant bien compte des contraintes spécifiques du problème. Pour faciliter le travail et la compréhension ,j'ai utilisé quatre figures distinctes séparées dont voici les dessins de constructions.





Réponse : Une construction graphique de wab51, postée le 07-10-2020 à 16:53:15 (S | E)

figure (1) et (2) 

 





Réponse : Une construction graphique de wab51, postée le 07-10-2020 à 17:02:21 (S | E)

figure (3) statique 





Réponse : Une construction graphique de wab51, postée le 07-10-2020 à 17:11:19 (S | E)

Figure dynamique (4) ,voir Lien internet
.Merci 





Réponse : Une construction graphique de wab51, postée le 07-10-2020 à 17:58:13 (S | E)
Enfin, une remarque pour finir.La construction aurait été beaucoup moins incombrante et moins pénible s'il avait été peut-être choisi à la place d'un triangle scalène ,un triangle particulier tel "équilatéral" ou " rectangle isocèle" ...Très bonne soirée .



Réponse : Une construction graphique de tiruxa, postée le 07-10-2020 à 19:51:33 (S | E)
Bonjour Wab51

Entièrement d'accord avec toi il n'y a que deux triangles équilatéraux isométriques (au maximum) répondant à la question.

Je dis au maximum puisqu'ils pourraient être confondus... (suivant la longueur choisie pour le côté)

J'avais évoqué la possibilité d'en avoir plus en commençant par un autre côté mais on retrouve les deux mêmes.

Voici un exemple, les longueurs des côtés sont bien sûr données par le logiciel, on peut obtenir plus de décimales sans problème.

Lien internet




Réponse : Une construction graphique de integrator, postée le 13-10-2020 à 07:01:55 (S | E)

Bonjour "tiruxa",

Bonjour "wab51",

Merci beaucoup pour vos réponses très intéressantes!

Comment réaliser les constructions graphiques requises par Lien internet
pour différentes valeurs n>3?Merci beaucoup!

Avec respect,

Integrator






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