Plan cartésien et plan parametrique

Bon, si on veut approfondir un peu, voyons un exercice classique dans lequel la représentation paramétrique d'un plan de l'espace est plus pratique que la cartésienne.

On va utiliser le plan P passant par A(5,2,1) qui est sur D et de vecteurs directeurs U(3,1,-4) et V(2,-2,1)  qui sont respectivement des vecteurs directeurs de D et D' (vecteurs non colinéaires, donc ce plan existe, il contient D et est parallèle à D') son équation paramétrique est donc :

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où u et v sont des réels

Reste à savoir si D' est strictement parallème à P ou bien contenue dans P

Pour cela on prend le point B(-11,10,4) de D' (pour t'=0) et on regarde s'il est dans P, on résout donc

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On trouve une solution unique u=-2 et v=-5

Ce qui signifie que D et D' sont coplanaires (contenues dans P) elles sont donc, de plus, sécantes car non parallèles.

Voilà donc un exemple dans lequel l'équation paramétrique de P s'imposait.